Question

17．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=x+m與橢圓C有交點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），a+c=3，a-c=1，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，整理得：7x²+8mx+4（m²-3）=0，由題意可知△≥0，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由已知得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）將直線方程代入橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：7x²+8mx+4（m²-3）=0，
由直線l：y=x+m與橢圓C有交點，
∴△≥0，即64m²-16×7×（m²-3）≥0，整理得：m²≤7，
解得：-$\sqrt{7}$≤m≤$\sqrt{7}$，
∴m的取值范圍[-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$]．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題．