Question

【題目】如圖，曲線(xiàn)由曲線(xiàn)和曲線(xiàn)組成，其中點(diǎn)為曲線(xiàn)所在圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線(xiàn)所在圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)．

（1）若，求曲線(xiàn)的方程；

（2）如圖，作直線(xiàn)平行于曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，交曲線(xiàn)于點(diǎn)，求證：弦的中點(diǎn)必在曲線(xiàn)的另一條漸近線(xiàn)上；

（3）對(duì)于（1）中的曲線(xiàn)，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）本題曲線(xiàn)方程的求法實(shí)質(zhì)為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列出兩個(gè)方程組，解出對(duì)應(yīng)參數(shù)即可（2）本題證明方法為以算代證，即先求出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再代入雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程進(jìn)行驗(yàn)證.先根據(jù)條件設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)），代入直線(xiàn)方程可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)），再代入雙曲線(xiàn)另一漸近線(xiàn)方程進(jìn)行驗(yàn)證.

（3）三角形的面積可轉(zhuǎn)化為等于兩個(gè)三角形面積之差，即，所以只需根據(jù)直線(xiàn)方程（設(shè)直線(xiàn)斜率）與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，并根據(jù)判別式大于零列出直線(xiàn)斜率取值范圍，最后根據(jù)基本不等式求最值.

（1）

則曲線(xiàn)的方程為和

（2）曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為 ,如圖，設(shè)直線(xiàn)

則

又由數(shù)形結(jié)合知

設(shè)點(diǎn)，則，

即點(diǎn) 在直線(xiàn)上

（3）由（1）知，曲線(xiàn)，點(diǎn)

設(shè)直線(xiàn)的方程為

設(shè)由韋達(dá)定理：

令,則

，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立

時(shí)，