Question

給定項(xiàng)數(shù)為m （m∈N*，m≥3）的數(shù)列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，m），這樣的數(shù)列叫”0-1數(shù)列”．若存在一個(gè)正整數(shù)k （2≤k≤m-1），使得數(shù)列{a_n}中某連續(xù)k項(xiàng)與該數(shù)列中另一個(gè)連續(xù)k項(xiàng)恰好按次序?qū)��?yīng)相等，則稱數(shù)列{a_n}是“k階可重復(fù)數(shù)列”．例如數(shù)列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0，因?yàn)閍₁，a₂，a₃，a₄與a₄，a₅，a₆，a₇按次序?qū)��?yīng)相等，所以數(shù)列{a_n}是“4階可重復(fù)數(shù)列”．
（1）已知數(shù)列{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，則該數(shù)列 ________“5階可重復(fù)數(shù)列”（填“是”或“不是”）；
（2）要使項(xiàng)數(shù)為m的所有”0-1數(shù)列”都為“2階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是 ________．

Answer 1

解：（1）數(shù)列{b_n}，因?yàn)閎₂，b₃，b₄，b₅，b₆與b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀按次序?qū)��?yīng)相等，
所以數(shù)列{b_n}是“5階可重復(fù)數(shù)列”，重復(fù)的這五項(xiàng)為0，0，1，1，0；
（2）因?yàn)閿?shù)列{a_n}的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)2項(xiàng)共有2²=4種不同的情形．
若m=6，則數(shù)列{a_n}中有5組連續(xù)2項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)��?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為6的數(shù)列{a_n}一定是“2階可重復(fù)數(shù)列”；
若m=5，數(shù)列0，0，1，1，0不是“2階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜5時(shí)，
均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{a_n}．
所以，要使數(shù)列{a_n}一定是“2階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是6．
分析：（1）觀察數(shù)列特點(diǎn)看元素是否按次序?qū)��?yīng)相等即看判斷數(shù)列是否為5階可重復(fù)數(shù)列；
（2）項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列{a_n}是2階可重復(fù)數(shù)列，數(shù)列的每一項(xiàng)只可以是0或1，則連續(xù)2項(xiàng)共有4種不同的情況，m=6，數(shù)列有5組連續(xù)2項(xiàng)，而3≤m≤5時(shí)，均存在不是“2階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列，要使數(shù)列一定是2階可重復(fù)數(shù)列m的最小值必須是6．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解數(shù)列概念，靈活運(yùn)用數(shù)列表示法的能力，旨在考查學(xué)生的觀察分析和歸納能力，屬中檔題．