【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)設(shè),求證:存在唯一的,使得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線l與函數(shù)的圖象也相切;
(3)求證:對(duì)任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為(0,];(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),在函數(shù)定義域內(nèi)由確定其增區(qū)間;
(2)先求出在處的切線方程,設(shè)這條切線與的圖象切于點(diǎn),由,得出關(guān)于的方程,然后證明此方程的解在上存在且唯一.
(3)把問題轉(zhuǎn)化為在上有解,令,則只要即可.
(1)h(x)=g(x)﹣x2=lnx﹣x2,x∈(0,+∞).
令,
解得.
∴函數(shù)h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,].
(2)證明:設(shè)x0>1,,可得切線斜率,
切線方程為:.
假設(shè)此切線與曲線y=f(x)=ex相切于點(diǎn)B(x1,),f′(x)=ex.
則k=,
∴.
化為:x0lnx0﹣lnx0﹣x0-1=0,x0>1.
下面證明此方程在(1,+∞)上存在唯一解.
令u(x0)=x0lnx0﹣lnx0﹣x0-1,x0>1.
,在x0∈(1,+∞)上單調(diào)遞增.
又u′(1)=-1,,
∴在上有唯一實(shí)數(shù)解,
,,遞減,
時(shí),,遞增,
而,∴在上無解,
而,∴在上有唯一解.
∴方程在(1,+∞)上存在唯一解.
即:存在唯一的x0,使得函數(shù)y=g(x)的圖象在點(diǎn)A(x0,g(x0))處的切線l與函數(shù)y=f(x)的圖象也相切.
(3)證明:,
令v(x)=ex﹣x﹣1,x>0.
∴v′(x)=ex﹣1>0,
∴函數(shù)v(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴v(x)>v(0)=0.
∴,
∴不等式,a>0ex﹣x﹣1﹣ax<0,
即H(x)=ex﹣x﹣1﹣ax<0,
由對(duì)任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立H(x)min<0.
H(x)=ex﹣x﹣1﹣ax,a,x∈(0,+∞).
H′(x)=ex﹣1﹣a,令ex﹣1﹣a=0,
解得x=>0,
函數(shù)H(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(,+∞)上單調(diào)遞增.
∵H(0)=0,∴.
∴存在對(duì)任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
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A. B. C. 2D. 3
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A | B | C | D | E | F |
這六塊實(shí)驗(yàn)田上進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn),要求這六塊實(shí)驗(yàn)田分別種植不同品種的馬鈴薯,若種植時(shí)要求編號(hào)1,3,5的三個(gè)品種的馬鈴薯中至少有兩個(gè)相鄰,且2號(hào)品種的馬鈴薯不能種植在A、F這兩塊實(shí)驗(yàn)田上,則不同的種植方法有 ( )
A. 360種 B. 432種 C. 456種 D. 480種
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(1)求證:;
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A.B.C.D.
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