Question

3．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：${a_1}=1，{a_2}=2，{S_n}+1={a_{n+2}}-{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，若不等式λS_n＞a_n恒成立，則實數λ的取值范圍是λ＞1．

Answer 1

分析 利用數列的遞推關系式轉化求解數列是等比數列，然后求解前n項和，以及通項公式公式，然后求出實數λ的取值范圍．

解答 解：因${a_1}=1，{a_2}=2，{S_n}+1={a_{n+2}}-{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，
故a₃=4，a₄=8，
又S_n+1+1=a_n+3-a_n+2，
將以上兩式兩邊相減可得a_n+3=2a_n+2，則由等比數列的定義可得公比q=2，
所以a_n=2^n-1，S_n=$\frac{1（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
則不等式λS_n＞a_n可化為λ＞$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}-1}$（n≥1），而$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}-1}$≤1，
則λ＞1．
故答案為：λ＞1．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列與不等式的關系，考查計算能力．