Question

設A、B分別為橢圓=1(a,b＞0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線.

（1）求橢圓的方程；

（2）設P為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

Answer 1

解：（1）依題意得 a＝2c，=4，解得a=2，c=1，從而b=.

故橢圓的方程為=1.

（2）解法1：由（1）得A（-2，0），B（2，0）.設M（x₀，y₀）.

∵M點在橢圓上，∴y₀=（4-x₀²）.①又點M異于頂點A、B，∴-2＜x₀＜2，

由P、A、M三點共線可以得P（4，）.

從而=（x₀-2，y₀），=（2，）.

∴·=2x₀-4++2=（x₀²-4+3y₀²）②

將①代入②，化簡得·=（2-x₀）.

∵2-x₀＞0，∴·＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

解法2：由（1）得A（－2，0），B（2，0）.

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則－2＜x₁＜2，－2＜x₂＜2，又MN的中點Q的坐標為（）.依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

|BQ|²-|MN|²=(-2)²+()²-[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]=（x₁-2）(x₂-2)＋y₁y₂ ③

又直線AP的方程為y=(x+2)，直線BP的方程為y=(x-2).

而兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂=.                   ④

又點M在橢圓上，則=1，即y₁²=(4-x₁²).   ⑤

于是將④⑤代入③，

化簡后可得|BQ|²-|MN|²=（2-x₁）(x₂-2)＜0.

從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi).