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15.已知點(diǎn)P(x,y)為曲線x216+y212=1(y≥0)上的任意一點(diǎn),求x+2y-12的取值范圍.

分析 由橢圓的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.,可設(shè)P(4cosθ,2\sqrt{3}sinθ),t=x+2y-12,運(yùn)用兩角和的正弦公式,結(jié)合y≥0,可得θ∈[0,π],運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),即可得到所求范圍.

解答 解:由橢圓\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1,
可得橢圓的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.,
可設(shè)P(4cosθ,2\sqrt{3}sinθ),t=x+2y-12,
t=4cosθ+4\sqrt{3}sinθ-12=8(\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ)-12=8sin(θ+\frac{π}{6})-12
由y≥0,可得θ∈[0,π],
即有θ+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\frac{7π}{6}],
則sin(θ+\frac{π}{6})∈[-\frac{1}{2},1],
可得t∈[-16,-4],
故x+2y-12的取值范圍[-16,-4].

點(diǎn)評 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用,考查輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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20.下列說法中正確的個數(shù)是( �。�
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4.如表是在一次射擊訓(xùn)練中,一名射擊運(yùn)動員20次的射擊成績表:
環(huán)數(shù)78910
頻數(shù)63
由于記錄本破損,9環(huán)和10環(huán)的頻數(shù)缺失了,但在統(tǒng)計記錄中發(fā)現(xiàn)該運(yùn)動員的平均成績?yōu)?.5環(huán).(參考數(shù)據(jù)\sqrt{15}≈3.87,精確到0.01)
(1)求10環(huán)的頻數(shù);
(2)求該運(yùn)動員射擊成績的標(biāo)準(zhǔn)差.

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