Question

若n∈N^*，(1+

2

)n=

2

an+bn（a_n，b_n∈N^*）．
（1）求a₄+b₄的值；
（2）證明：bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

；
（3）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)．試證：當n為偶數(shù)時，[(1+

2

)n]=2bn-1．當n為奇數(shù)時，上述結(jié)果是否依然成立？如果不成立，請用b_n表示[(1+

2

)n]（不必證明）

Answer 1

分析：（1）將(1+

2

)n展開后合并同類項，即可即可求得a₄+b₄的值．
（2））將(1+

2

)n，(1-

2

)n 展開后兩式相加，便可證明．注意展開式中各項的符號．
（3）在（2）的基礎上，2bn=(1+

2

)n+(1-

2

)n，當n為偶數(shù)時，0＜(1-

2

)n＜1，則有2bn-1＜(1+

2

)n＜2bn．

解答：解：（1）(1+

2

)4=

C

0 4

+

C

1 4

•

2

+

C

2 4

(

2

)2+

C

3 4

(

2

)3+

C

4 4

(

2

)4=12

2

+17，
所以a₄=12，b₄=17，a₄+b₄=29．                               …（3分）
（2）當n為偶數(shù)時，(1+

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•

2

+

C

2 n

(

2

)2+…+

C

n n

(

2

)n，bn=

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…+

C

n n

(

2

)n，
而(1-

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•(-

2

)+

C

2 n

(-

2

)2+…+

C

n n

(-

2

)n，(1+

2

)n+(1-

2

)n=2[

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…+

C

n n

(

2

)n]，
所以bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

成立．                                  …（6分）
當n為奇數(shù)時，(1+

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•

2

+

C

2 n

(

2

)2+…+

C

n n

(

2

)n，bn=

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…+

C

n-1 n-1

(

2

)n-1，
而(1-

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•(-

2

)+

C

2 n

(-

2

)2+…+

C

n n

(-

2

)n，(1+

2

)n+(1-

2

)n=2[

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…+

C

n-1 n-1

(

2

)n-1]，
所以bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

成立．                                …（9分）
（3）由（2）可得2bn=(1+

2

)n+(1-

2

)n是正整數(shù)，-1＜1-

2

＜0，所以當n為偶數(shù)時，0＜(1-

2

)n＜1，…（12分）
則有2bn-1＜(1+

2

)n＜2bn，
所以2b_n-1是不超過(1+

2

)n的最大整數(shù)，[(1+

2

)n]=2bn-1．     …（14分）
當n為奇數(shù)時，[(1+

2

)n]=2bn．                                  …（16分）

點評：本題考查二項式定理及其應用，考查計算、分類討論、分析解決問題的能力．