Question

7．已知f（x）=x³-3ax²-9a²x-bc其中（a＞0）有三個(gè)零點(diǎn)1，b，c，且b＜1＜c，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①$0＜a＜\frac{1}{3}$；②$a＞\frac{1}{3}$；③b＞0；④b＜0；，則其中正確結(jié)論的序號是②④．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x²-6ax-9a²，通過函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值點(diǎn)-a，3a，⇒f（-a）=-a³-3a³+9a³-bc＞0，f（3a）=27a³-27a³-27a³-bc＜0，f（1）=1-3a-9a²-bc=0．b＜0，f（b）=b³-3ab²-9a²b-bc=0，f（c）=c³-3ac²-9a²c-bc=0．求出a即可．

解答 解：∵f（x）=x³-3ax²-9a²x-bc其中（a＞0）
∴f′（x）=3x²-6ax-9a²=3（x+a）（x-3a），
令f′（x）=0，解得x=-a，x=3a．
∴-a（-a＜0）是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，3a是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．
∵函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)1，b，c，且b＜1＜c，
∴f（-a）=-a³-3a³+9a³-bc＞0，f（3a）=27a³-27a³-27a³-bc＜0，f（1）=1-3a-9a²-bc=0．
b＜0，f（b）=b³-3ab²-9a²b-bc=0，f（c）=c³-3ac²-9a²c-bc=0．
化為：b²-3ab-9a²-c=0，c²-3ac-9a²-b=0．
相減可得：b+c-3a+1=0．
化為：5a³-bc＜0，27a³+bc＞0，
可得：9a²+3a-1＞0，a＞0．
解得a＞$\frac{3\sqrt{5}-1}{6}$＞$\frac{1}{3}$．
故答案為：②④

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值，從而得到函數(shù)圖象及根的分布，屬于難題．