Question

雙曲線的離心率等于2，且與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1有相同的焦點(diǎn)，
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求此雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線距離．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點(diǎn)，即有c=4，設(shè)出雙曲線方程，由離心率為2，求得a=2，再由a，b，c的關(guān)系即可得到b，進(jìn)而得到雙曲線方程；
（2）求出雙曲線的一條漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得距離．

解答： 解：（1）橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)為（±4，0），
則雙曲線的c=4，可設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由雙曲線的離心率等于2，則

c

a

=2，則有a=2，
b=

c2-a2

=2

3

．
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（4，0），一條漸近線方程為y=

3

x，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離為d=

4 3

1+3

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線方程、性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率公式和漸近線方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．