Question

14．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圓O所在的平面，AB=4，BE=1．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）當(dāng)三棱錐C-ADE的體積最大時(shí)，求直線CE與平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由矩形性質(zhì)得出DE⊥CD，DE∥BC，由圓的性質(zhì)得出BC⊥AC，故而DE⊥AC，于是DE⊥平面ACD，從而得出平面ADE⊥平面ACD；
（2）設(shè)AC=x，求出棱錐C-ADE的體積，利用基本不等式得出當(dāng)x=2$\sqrt{2}$時(shí)棱錐體積最大，以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{CE}$和平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞|即為所求．

解答 （1）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴AC⊥AB，
∵四邊形DCBE是矩形，∴CD⊥DE，DE∥BC．
∴AC⊥DE．
又AC?平面ACD，CD?平面ACD，AC∩CD=C，
∴DE⊥平面ACD．∵DE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD．
（2）解：設(shè)AC=x，則BC=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∴V_C-ADE=V_E-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×x×1×\sqrt{16-{x}^{2}}$=$\frac{x\sqrt{16-{x}^{2}}}{6}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}（16-{x}^{2}）}}{6}$≤$\frac{16}{12}$=$\frac{4}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x²=16-x²即x=2$\sqrt{2}$時(shí)，V_C-ADE取得最大值．
以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CD為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：
則A（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，0，0），D（0，0，1），E（0，2$\sqrt{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{CE}$=（0，2$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{AD}$=（-2$\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{DE}$=（0，2$\sqrt{2}$，0）．
設(shè)平面ADE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}x+z=0}\\{2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$．
令x=$\sqrt{2}$得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，0，4），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{4}{3•3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．
∴直線CE與平面ADE所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．