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14.如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C在圓O上,矩形DCBE所在的平面垂直于圓O所在的平面,AB=4,BE=1.
(1)證明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)當(dāng)三棱錐C-ADE的體積最大時(shí),求直線CE與平面ADE所成角的正弦值.

分析 (1)由矩形性質(zhì)得出DE⊥CD,DE∥BC,由圓的性質(zhì)得出BC⊥AC,故而DE⊥AC,于是DE⊥平面ACD,從而得出平面ADE⊥平面ACD;
(2)設(shè)AC=x,求出棱錐C-ADE的體積,利用基本不等式得出當(dāng)x=22時(shí)棱錐體積最大,以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,求出CE和平面ADE的法向量n,則|cos<nCE>|即為所求.

解答 (1)證明:∵AB是圓O的直徑,
∴AC⊥AB,
∵四邊形DCBE是矩形,∴CD⊥DE,DE∥BC.
∴AC⊥DE.
又AC?平面ACD,CD?平面ACD,AC∩CD=C,
∴DE⊥平面ACD.∵DE?平面ADE,
∴平面ADE⊥平面ACD.
(2)解:設(shè)AC=x,則BC=16x2,
∴VC-ADE=VE-ACD=13SACDBC=13×12×x×1×16x2=x16x26=x216x261612=43
當(dāng)且僅當(dāng)x2=16-x2即x=22時(shí),VC-ADE取得最大值.
以C為原點(diǎn),以CA,CB,CD為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示:
則A(22,0,0),C(0,0,0),D(0,0,1),E(0,22,1).
CE=(0,22,1),AD=(-22,0,1),DE=(0,22,0).
設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z),則{nAD=0nDE=0,∴{22x+z=022y=0
令x=2n=(2,0,4),
∴cos<nCE>=nCE|n||CE|=4332=229
∴直線CE與平面ADE所成角的正弦值為229

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定,空間向量與線面角的計(jì)算,屬于中檔題.

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喜愛不喜愛總計(jì)
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女學(xué)生
總計(jì)7030
(1)完成如表,并根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有95%的把握認(rèn)為“男學(xué)生和女學(xué)生喜歡古典音樂的程度有差異”;
(2)從以上被調(diào)查的學(xué)生中以性別為依據(jù)采用分層抽樣的方式抽取10名學(xué)生,再?gòu)倪@10名學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生去某古典音樂會(huì)的現(xiàn)場(chǎng)觀看演出,求正好有X個(gè)男生去觀看演出的分布列及期望.
附:K2=nadbc2a+bc+da+cb+d
P(K2≥k00.1000.0500.010
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