Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，B=$\frac{π}{3}$．
（1）若a=3，b=$\sqrt{7}$，求c的值；
（2）若f（A）=sinA（$\sqrt{3}$cosA-sinA），a=$\sqrt{7}$，求f（A）的最大值及此時△ABC的外接圓半徑．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理即可得解c的值．
（2）利用三角函數恒等變換的應用化簡可得f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，利用正弦函數的性質可求f（A）的最大值，利用正弦定理進而可求得此時△ABC的外接圓半徑．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵b²=a²+c²-2accosB，a=3，b=$\sqrt{7}$，$B=\frac{π}{3}$，
∴7=9+c²-2×$3×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-3c+2=0，
解得：c=1或2…4分
（2）由二倍角公式得f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{1}{2}$，
∴f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴當A=$\frac{π}{6}$時，f（A）最大值為$\frac{1}{2}$，
此時△ABC為直角三角形，
此時△ABC的外接圓半徑：$r=\frac{1}{2}×\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{7}}}{{2×\frac{1}{2}}}=\sqrt{7}$…12分

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的性質，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．