直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D為CC1的中點(diǎn)，
CC1
AC
=λ
（1）λ為何值時(shí)，A1D⊥平面ABD；
（2）當(dāng)A1D⊥平面ABD時(shí)，求C1到平面ABD的距離；
（3）當(dāng)二面角A-BD-C為60°時(shí)，求λ的值．
以
AB
，
AC
，
AA1
為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，C1(0，a，λa)，D(0，a，
1
2
λa)，A1（0，0，λa）
（1）
A1D
=(0，a，-
λa
2
)，
AD
=(0，a，
λa
2
)
∵A1D⊥平面ABD∴A1D⊥AD
∴0+a2-
λ2a2
4
=0有λ=2
（2）λ=2時(shí)，
C1D
=(0，0，-a)，
A1D
=（0，a，-a）
∴C1到平面ABD的距離d=|
C1D
•
A1D
|
A1D
|
|=
2
2
a
（3）取BC中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥BC，又BB1⊥AE∴AE⊥平面BCD
AE
=(
a
2
，
a
2
，0)，設(shè)
m
=(x，y，z)為平面ABD的一個法向量
由
m
•
AB
=0
m
•
AD
=0
得
x=0
y=-
λz
2

取z=1得
m
=(0，-
λ
2
，1)，由cos60°=|
m
•
AE
|
m
|•|
AE
|
|得λ=2
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖是一個長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖（單位：cm）．
（1）畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在所給直觀圖中連接BC'，證明：BC'∥平面EFG．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（單位：cm），E為PA的中點(diǎn)．
（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）求異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1；
（3）求證：直線PB1⊥平面PAC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線l⊥平面α，有以下幾個判斷：
①若m⊥l，則m∥α，
②若m⊥α，則m∥l
③若m∥α，則m⊥l，
④若m∥l，則m⊥α，
上述判斷中正確的是（　�。�
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=CD=
6
，∠BAC=60°，E為AC的中點(diǎn)；現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起，使點(diǎn)D在平面ABC上的射影H落在BC上．
（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求三棱錐D-ABE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求此時(shí)異面直線AE和CH所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離．

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同步練習(xí)冊答案