Question

對(duì)于正整數(shù)k，g（k）表示k的最大奇因數(shù)，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…．
（1）分別計(jì)算：g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2k-1）；
并證明g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）=g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2ⁿ）；
（3）記f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）其中n為正整數(shù)，求f（n）．

Answer 1

分析：（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7+16；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6，g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2k-1）=1+3+5+…（2k-1），利用等差數(shù)列的求和公式可求
由2k=2•k可得2k中的最大奇因數(shù)即k為中的最大奇因數(shù)，從而可得g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2ⁿ）=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•2^n-1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）
（3）由于f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1），由（2）及等差數(shù)列的 求和公式可得f（n）=f（n-1）+4^n-1，利用疊加可求

解答：解：（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7+16；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2k-1）=1+3+5+…+(2k-1)=

1+2k-1

2

•k=k2
證明：∵2k=2•k∴2k中的最大奇因數(shù)即k為中的最大奇因數(shù)
∴g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2ⁿ）=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•2^n-1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）=

1+2n-1

2

(2n-1)+f(n-1)=4^n-1+f（n-1）
即f（n）-f（n-1）=4^n-1
∴f（3）-f（2）=4²，f（4）-f（3）=4³，
…f（n）-f（n-1）=4^n-1
可得f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=

42(1-4n-2)

1-4

+6=

4n+2

3

當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=g（1）+g（2）=1+1=2也成立，
∴f(n)=

4n+2

3

n∈N^*

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，疊加求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公式，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．