Question

3．若函數(shù)f（x）=log₂x在x∈[1，4]上滿足f（x）≤m²-3am+2恒成立，則當(dāng)a∈[-1，1]時，實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• B． （-∞，-$\frac{1}{3}$]∪[$\frac{1}{3}$，+∞）∪{0}
• C． [-3，3]
• D． （-∞，-3]∪[3，+∞）∪{0}

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）=log₂x在x∈[1，4]上的取值范圍，轉(zhuǎn)化為2≤m²-3am+2在a∈[-1，1]上恒成立，再構(gòu)造g（a）=m²-3am，a∈[-1，1]根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到．

解答 解：當(dāng)x∈[1，4]時，0≤f（x）=log₂x≤2，
可得2≤m²-3am+2在a∈[-1，1]上恒成立，即m²-3am≥0在a∈[-1，1]上恒成立，
當(dāng)m=0時顯然成立，
當(dāng)m≠0時，設(shè)g（a）=m²-3am，a∈[-1，1]，
則（1）m＞0時，函數(shù)g（a）在[-1，1]上是減函數(shù)，可知g（1）≥0，解得m≥3；
（2）m＜0時，函數(shù)g（a）在[-1，1]上是增函數(shù)，可知g（-1）≥0，解得m≤-3；
綜上所述，m的取值范圍是m=0或m≥3或m≤-3，
故選D．

點評 本題考查恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，屬于中檔題