Question

15．已知函數(shù)f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|+a|x-$\frac{3}{2}$|．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）≤3x；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，若關(guān)于x的不等式2f（x）+1＜|1-b|的解集為空集，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{3}{2}$|≤3x，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，由題意可得，|1-b|＞7+1的解集為∅，即|1-b|≤8恒成立，即-8≤b-1≤8，由此求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{3}{2}$|≤3x，
等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{4}}\\{-2x-\frac{1}{2}-（\frac{3}{2}-x）≤3x}\end{array}\right.$①；或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}≤x＜\frac{3}{2}}\\{2x+\frac{1}{2}-（\frac{3}{2}-x）≤3x}\end{array}\right.$②；或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{2x+\frac{1}{2}-（x-\frac{3}{2}）≤3x}\end{array}\right.$．
解①求得-$\frac{1}{2}$≤x＜-$\frac{1}{4}$，解②求得-$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{3}{2}$，解③求得x≥$\frac{3}{2}$，
故原不等式的解集為{x|x≥-$\frac{1}{2}$}．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，若關(guān)于x的不等式2f（x）+1＜|1-b|，即 2（|2x+$\frac{1}{2}$|+2|x-$\frac{3}{2}$|）+1＜|1-b|，
即|4x+1|+|4x-6|+1＜|1-b|．
由于|4x+1|+|4x-6|≥|（4x+1）-（4x-6）|=7，∴|1-b|＞7+1的解集為∅，即|1-b|≤8恒成立，
∴-8≤b-1≤8，即-7≤b≤9，即要求的實(shí)數(shù)b的取值范圍為[-7，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．