已知遞增的等比數(shù)列{a
n}的前n項和S
n滿足：S
4=S
1+28，且a
3+2是a
2和a
4的等差中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（Ⅱ）若b
n=a
nlog
a
n，T
n=b
1+b
2+…+b
n，求使T
n+n•2
n+1=30成立的正整數(shù)n的值．
考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（I）由題意，得
| | a1(q+q2+q3)=28 | | a1(q+q3)=2(a1q2+2) |
| |
，由此能求出數(shù)列{a
n}的通項公式．
（Ⅱ）b
n=a
nlog
a
n，T
n=b
1+b
2+…+b
n=-（1×2+2×2
2+…+n×2
n），進而可得T
n+n•2
n+1=30成立的正整數(shù)n的值．
解答：
解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a
n}的公比為q，
∵S
4=S
1+28，且a
1+2是a
2和a
4的等差中項．
∴
| | a1(q+q2+q3)=28 | | a1(q+q3)=2(a1q2+2) |
| |
，
解得
，
即數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=2•2
n-1=2
n…（6分）
（Ⅱ）b
n=a
nlog
a
n，…（8分）
T
n=b
1+b
2+…+b
n=-（1×2+2×2
2+…+n×2
n）①
則2T
n=-（1×2
2+2×2
3+…+n×2
n+1）②
②-①，得T
n=（2+2
2+…+2
n）-n•2
n+1=2
n+1-2-n•2
n+1即數(shù)列{b
n}的前項和T
n=2
n+1-2-n•2
n+1，
則T
n+n•2
n+1=2
n+1-2=30，
即2
n+1=32，
解得：n=4
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)列與不等式的綜合運用，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
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已知數(shù)列{a
n}的前n項和是S
n，且S
n+
a
n=1（n∈N
*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)
bn=-3log3+1（n∈N
*），求
++…+的值．
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