Question

4．梯形ABCD中，DC∥AB，DC=2，AB=4，AD=BC=3，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-1．

Answer 1

分析 以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂線為y軸，建立如圖所示的坐標系，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可．

解答 解：∵梯形ABCD中，DC∥AB，DC=2，AB=4，AD=BC=3，
過點D，C作DE⊥AE，CF⊥AB，垂足分別為為E，F(xiàn)，
∴AE=BF=1，
∴DE=CF=$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂線為y軸，建立如圖所示的坐標系，
∴A（0，0），B（4，0），C（3，2$\sqrt{2}$），D（1，2$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（3，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-3，2$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=3×（-3）+2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=-1，
故答案為：-1．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的運算，關鍵是建立坐標系，屬于基礎題．