Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知$\vec m$=（sin（x+$\frac{π}{4}$），cosx），$\vec n$=（cos（x+$\frac{π}{4}$），cosx），f（x）=$\vec m$•$\vec n$．
（1）試求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，若f（$\frac{A}{2}$）=1，a=2，試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、誘導(dǎo)公式可得f（x），再利用三角函數(shù)的單調(diào)性周期性即可得出．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）由已知可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）（cos（x+$\frac{π}{4}$）+cosx•cosx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=cos2x+$\frac{1}{2}$，
∴T=π，單調(diào)遞增區(qū)間為：$[-\frac{π}{2}+kπ，π+kπ]$（k∈Z）．
（2）$f（\frac{A}{2}）=1⇒cosA+\frac{1}{2}=1⇒cosA=\frac{1}{2}⇒A=\frac{π}{3}$．
又∵a=2，∴a²=b²+c²-2bccosA，4=b²+c²-bc．
又∵b²+c²≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)“b=c”時(shí)取等號(hào)）
∴y=b²+c²-bc≥bc.${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)．
∴${（{S_{△ABC}}）_{max}}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性周期性、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．