Question

(2009山東卷理)（本小題滿分12分）

     如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,  AA=2,  E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。

證明：直線EE//平面FCC；

求二面角B-FC-C的余弦值。    

Answer 1

解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因為AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，

又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因為平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC.

（2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC₁F,過O在平面CC₁F內(nèi)作OP⊥C₁F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,      

在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.

解法二:（1）因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,

所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因為ABCD為

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,

連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM為x軸,DC為y軸,DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,

C₁（0,2,2）,E（,,0）,E₁（,-1,1）,所以,,設(shè)平面CC₁F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE//平面FCC.     

（2）,設(shè)平面BFC₁的法向量為,則所以,取,則,

,,     

所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.     

【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及應(yīng)用向量知識解答問題的能力.