9．己知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，F(xiàn)1，F(xiàn)2時雙曲線的兩個焦點，A為左頂點、B（0，b），點P在線段AB上，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值為-$\frac{21}{5}$．

分析 設P（x，y）推出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{5}$-x，-y）（$\sqrt{5}$-x，-y）=x2+y2-5，通過垂直整合求解最小值即可．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，A為左頂點、可得a=2，則c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
設P（x，y）則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{5}$-x，-y）（$\sqrt{5}$-x，-y）=x2+y2-5，
顯然，當OP⊥AB時，x2+y2取得最小值，由面積法易得（x2+y2）min=$\frac{4}{5}$，故點P在線段AB上，
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值為：$\frac{4}{5}-5=-\frac{21}{5}$．
故答案為：-$\frac{21}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．

練習冊系列答案
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A．${S_n}=2{n^2}-2n$B．${S_n}=2{n^2}$C．${S_n}=4{n^2}-3n$D．${S_n}=2{n^2}+2n$

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