Question

9．已知拋物線x²=4y與圓C：（x-1）²+（y-2）²=r²（r＞0）有公共點(diǎn)P，若拋物線在P點(diǎn)處的切線與圓C也相切，則r=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由x²=4y，求導(dǎo)，求得拋物線在P點(diǎn)處的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀，求得直線PC的斜率，由k_PC•k=1，求得P坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得r．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，$\frac{1}{4}$${x}_{0}^{2}$），則由x²=4y，求導(dǎo)y′=$\frac{1}{2}$x，
∴拋物線在P點(diǎn)處的切線的斜率為k=$\frac{1}{2}$x₀，
∵圓（x-1）²+（y-2）²=r²（r＞0）的圓心的坐標(biāo)為C（1，2），
∴k_PC=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}-2}{{x}_{0}-1}$，
∴k_PC•k=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}-2}{{x}_{0}-1}$•$\frac{1}{2}$x₀=-1，解得：x₀=2
∴P（2，1），
∴r=丨PC丨=$\sqrt{（1-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和直線與圓的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力和知識(shí)的遷移能力，屬中檔題．