Question

16．某測試團(tuán)隊(duì)為了研究“飲酒”對(duì)“駕車安全”的影響，隨機(jī)選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行“停車距離”測試．測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”（駕駛員從看到意外情況到車子完全停下所需要的距離）．無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列于表1和表2．
表1

停車距離d（米）	（10，20]	（20，30]	（30，40]	（40，50]	（50，60]
頻數(shù)	26	a	b	8	2

表2

平均每毫升血液酒精含量x毫克	10	30	50	70	90
平均停車距離y米	30	50	60	70	90

已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為26，回答以下問題．
（Ⅰ）求a，b的值，并估計(jì)駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅲ）該測試團(tuán)隊(duì)認(rèn)為：駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于（Ⅰ）中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍，則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”．請(qǐng)根據(jù)（Ⅱ）中的回歸方程，預(yù)測當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時(shí)為“醉駕”？
（附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸直線$\hat y=\hat bx+\hat a$的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)中位數(shù)定義得$\frac{6}{10}a=50-26$，解得a，a+b+36=100，解得b．
（Ⅱ）根據(jù)$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$．求出a，b即可．
（Ⅲ）令$\hat y＞81$，得0.7x+25＞81，解得x＞80．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得$\frac{6}{10}a=50-26$，解得a=40，（1分）
又a+b+36=100，解得b=24；（2分）
故停車距離的平均數(shù)為$15×\frac{26}{100}+25×\frac{40}{100}+35×\frac{24}{100}+45×\frac{8}{100}+55×\frac{2}{100}=27$．（4分）
（Ⅱ）依題意，可知$\overline{x}=50，\overline{y}=60$，（5分）
$\hat b=\frac{10×30+30×50+50×60+70×70+90×90-5×50×60}{{{{10}^2}+{{30}^2}+{{50}^2}+{{70}^2}+{{90}^2}-5×{{50}^2}}}$=$\frac{7}{10}$，
$\hat a=60-\frac{7}{10}×50=25$，
所以回歸直線為$\hat y=0.7x+25$．（8分）
（Ⅲ）由（I）知當(dāng)y＞81時(shí)認(rèn)定駕駛員是“醉駕”．（9分）
令$\hat y＞81$，得0.7x+25＞81，解得x＞80，（11分）
當(dāng)每毫升血液酒精含量大于80毫克時(shí)認(rèn)定為“醉駕”．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查統(tǒng)計(jì)、回歸方程等基礎(chǔ)知識(shí)；考查了數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、屬于中檔題．