Question

11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，b=$\sqrt{2}$sinB，且滿足tanA+tanC=$\frac{2sinB}{cosA}$．
（Ⅰ）求角C和邊c的大��；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式即可求出，再根據(jù)正弦定理即可求出c的值，
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理和基本不等式即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）tanA+tanC=$\frac{2sinB}{cosA}$可得$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$
=$\frac{sin（A+C）}{cosAcosC}$=$\frac{sinB}{cosAcosC}$=$\frac{2sinB}{cosA}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵b=$\sqrt{2}$sinB，
由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{sinB}$=$\sqrt{2}$，
∴c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（Ⅱ）由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴$\frac{3}{2}$=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
故△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{8}$..

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理以及三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．