Question

3．如圖，在直角梯形AA₁B₁B中，∠A₁AB=90°，A₁B₁∥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=2，直角梯形AA₁C₁C通過直角梯形AA₁B₁B以直線AA₁為軸旋轉得到，且使得平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B．點M為線段BC的中點，點P是線段BB₁中點．
（Ⅰ）求證：A₁C₁⊥AP；
（Ⅱ）求二面角P-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AC⊥AB，AC⊥AA₁，從而AC⊥平面AA₁B₁B，由A₁C₁∥AC，知A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，由此能證明A₁C₁⊥AP．
（Ⅱ）以AC，AB，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出二面角P-AM-B的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵在直角梯形AA₁B₁B中，∠A₁AB=90°，A₁B₁∥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=2，
直角梯形AA₁C₁C通過直角梯形AA₁B₁B以直線AA₁為軸旋轉得到，
∴∠A₁AB=∠A₁AC=90°，且平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B，
∴∠BAC=90°，即AC⊥AB，
又∵AC⊥AA₁，且AB∩AA₁=A，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，
由已知A₁C₁∥AC，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∵AP?平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥AP．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC，AB，AA₁兩兩垂直，
分別以AC，AB，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角系，
由已知得AB=AC=AA₁=2A₁B₁=2A₁C₁=2，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B₁（0，1，2），A₁（0，0，2），
∵M為線段BC的中點，P為線段BB₁的中點，
∴M（1，1，0），P（0，$\frac{3}{2}$，1），
平面ABM的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設平面APM的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，3），
由圖知二面角P-AM-B的大小為銳角，
設二面角P-AM-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴二面角P-AM-B的余弦值為$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．