已知是橢圓E:的兩個(gè)焦點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn),直線y=上到焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上,
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)如圖,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(Ⅰ)橢圓方程為;(Ⅱ)存在定點(diǎn)M,使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn).
解析試題分析:(Ⅰ)求橢圓E的方程,可用待定系數(shù)法求方程,因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,故可得橢圓E:的兩個(gè)焦點(diǎn),即,由題意直線y=上到焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2距離之和最小,可用對(duì)稱法求最小值,即求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為最小值為,此時(shí)的點(diǎn)P恰好在橢圓E上,故,可得,從而得,這樣就得橢圓E的方程;(Ⅱ)這是探索性命題,可假設(shè)存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn),此時(shí)當(dāng)AB軸時(shí),以AB為直徑的圓的方程為:,當(dāng)AB軸時(shí),以AB為直徑的圓的方程為:,解得兩圓公共點(diǎn).因此所求的點(diǎn)如果存在,只能是.由此能夠?qū)С鲆訟B為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M.
試題解析:(Ⅰ)由拋物線的焦點(diǎn)可得:,
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
故,
因此,橢圓方程為。(4分)
(Ⅱ)假設(shè)存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)。
當(dāng)AB軸時(shí),以AB為直徑的圓的方程為: …………… ①
當(dāng)AB軸時(shí),以AB為直徑的圓的方程為: …………②
由①②知定點(diǎn)M。(6分)
下證:以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M。
設(shè)直線,代入,有。
設(shè),則。
則,
在軸上存在定點(diǎn)M,使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)。(14分)
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題;圓錐曲線的共同特征.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知?jiǎng)又本與橢圓交于、兩不同點(diǎn),且△的面積=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)證明和均為定值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的最大值;
(3)橢圓上是否存在點(diǎn),使得?若存在,判斷△的形狀;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過(guò)與拋物線C的交點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長(zhǎng)交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過(guò)兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,為原點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn),是的中點(diǎn),且,求點(diǎn)到軸的距離;
(2)如圖2,直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若在橢圓上存在點(diǎn),使四邊形為平行四邊形,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知圓過(guò)定點(diǎn),圓心在拋物線上,、為圓與軸的交點(diǎn).
(1)當(dāng)圓心是拋物線的頂點(diǎn)時(shí),求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長(zhǎng).
(2)當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否為一定值?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
(3)當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),記,,求的最大值,并求出此時(shí)圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知為橢圓的左頂點(diǎn),平行于的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).判斷直線是否關(guān)于直線對(duì)稱,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點(diǎn),求的取值范圍;
(II)設(shè)E是(I)中直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn),求|EF1|+|EF2|取得最小值時(shí),橢圓的方程;
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)Q滿足 且,其中N為橢圓的下頂點(diǎn),求直線l在y軸上截距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(13分) 已知橢圓C的中心在原點(diǎn),離心率等于,它的一個(gè)短軸端點(diǎn)點(diǎn)恰好是拋物線 的焦點(diǎn)。
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是橢圓上的兩點(diǎn),A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;
②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足=,試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡曲線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),寫出曲線在點(diǎn)處的切線的方程;(不要求證明)
(3)直線過(guò)切點(diǎn)與直線垂直,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:直線恒過(guò)一定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo).
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