如圖所示，已知圓為圓上一動點，點是線段的垂直平分線與直線的交點．

（1）求點的軌跡曲線的方程；
（2）設點是曲線上任意一點，寫出曲線在點處的切線的方程；（不要求證明）
（3）直線過切點與直線垂直，點關于直線的對稱點為，證明：直線恒過一定點，并求定點的坐標．

（1）；（2）；（3）證明見解析，定點為．

解析試題分析：（1）本題動點依賴于圓上中，本來這種問題可以用動點轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，但本題用動點轉(zhuǎn)移法會很繁，考慮到圓的半徑不變，垂直平分線的對稱性，我們可以看出
，是定值，而且，因此點軌跡是橢圓，這樣我們可以利用橢圓標準方程寫出所求軌跡方程；（2）圓錐曲線的過其上點的切線方程，橢圓，切線為，
雙曲線，切線為，拋物線，切線為；（3）這題考查同學們的計算能力，現(xiàn)圓錐曲線切線有關的問題，由（2）我們知道切線斜率為，則直線的斜率為，又過點，可以寫出直線方程，然后求出點關于直線的對稱點的坐標，從而求出直線的方程，接著可從的方程觀察出是不是過定點，過哪個定點？這里一定要小心計算．
試題解析：（1）點是線段的垂直平分線,∴ 

∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.
橢圓長軸長為焦距2c=2.  
∴曲線E的方程為　　   5′
（2）曲線在點處的切線的方程是.   8′
（3）直線的方程為，即 .
設點關于直線的對稱點的坐標為,
則，解得
直線PD的斜率為
從而直線PD的方程為：
即,從而直線PD恒過定點.   16′
考點：（1）橢圓的定義；（2）橢圓的切線方程；（3）垂直，對稱，直線過定點問題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.
①證明直線與軸交點的位置與無關；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點,且

（1）求此橢圓的標準方程;
（2）設P是此橢圓上異于A,B的任意一點, 軸,H為垂足,延長HP到點Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點,為的中點，判定直線與以為直徑的圓O位置關系。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，點是點關于軸的對稱點，過點的直線交拋物線于兩點。
（Ⅰ）試問在軸上是否存在不同于點的一點，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點的坐標，若不存在說明理由。
（Ⅱ）若的面積為，求向量的夾角；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右兩焦點分別為，是橢圓上一點，且在軸上方，．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）當取最大值時，過的圓的截軸的線段長為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準線上任一點引圓的兩條切線，切點分別為．試探究直線是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

）如圖，橢圓：，、、、為橢圓的頂點

（Ⅰ）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，求橢圓方程；
（Ⅱ）已知:直線相交于，兩點（不是橢圓的左右頂點），并滿足 試研究：直線是否過定點？ 若過定點，請求出定點坐標，若不過定點，請說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若拋物線與直線交于、兩點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設點為直線上的點，求直線的方程；
(Ⅲ) 當點在直線上移動時，求的最小值．

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