Question

14．設(shè)△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別是a，b，c，且$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$b cosC+c sinB．
（Ⅰ）求角B 的大�。�
（Ⅱ）若點(diǎn)M 為BC的中點(diǎn)，且 AM=AC，求sin∠BAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\sqrt{3}a=\sqrt{3}bcosC+csinB$，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，代入化簡利用和差公式即可得出．
（Ⅱ）解法一：設(shè)∠BAC=θ，則$C=\frac{2π}{3}-θ，∠BAM=\frac{π}{3}-θ$，在△ABC中與△ABM中，利用正弦定理化簡即可得出．
解法二：取CM中點(diǎn)D，連接AD，則AD⊥CM，設(shè)CD=x，則BD=3x，由（Ⅰ）知$B=\frac{π}{3}$，可得$AD=3\sqrt{3}x，AB=6x，AC=2\sqrt{7}x$，利用余弦定理與正弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}a=\sqrt{3}bcosC+csinB$
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$…（1分）
有$\sqrt{3}sinA=\sqrt{3}sinBcosc+sinCsinB$…（2分）
又A=π-（B+C）即$\sqrt{3}sin（B+C）=\sqrt{3}sinBcosC+sinCsinB$…（3分）
∴$\sqrt{3}sinBcosC+\sqrt{3}cosBsinC=\sqrt{3}sinBcosC+sinBsinC$…（4分）
∴$\sqrt{3}cosB=sinB$∴$tanB=\sqrt{3}$…（5分）
因?yàn)?＜B＜π∴$B=\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）解法一：設(shè)∠BAC=θ，則$C=\frac{2π}{3}-θ，∠BAM=\frac{π}{3}-θ$…（7分）△ABC中，$\frac{BC}{sinθ}=\frac{AC}{{sin\frac{π}{3}}}$…（8分）
△ABM中，$\frac{BM}{{sin（\frac{π}{3}-θ）}}=\frac{AM}{{sin\frac{π}{3}}}$…（9分）
∵AM=AC，BC=2BM∴$\frac{sinθ}{{sin（\frac{π}{3}-θ）}}=2$…（10分）
∴$cosθ=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinθ$…（11分）
由平方關(guān)系得${sin^2}θ=\frac{3}{7}$$sinθ=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$…（12分）
解法二：取CM中點(diǎn)D，連接AD，則AD⊥CM，…（7分）
設(shè)CD=x，則BD=3x，…（8分）
由（Ⅰ）知$B=\frac{π}{3}$，∴$AD=3\sqrt{3}x，AB=6x，AC=2\sqrt{7}x$…（10分）
由$cos∠BAC=\frac{{{{（6x）}^2}+{{（2\sqrt{7}x）}^2}-{{（4x）}^2}}}{{2×6x×2\sqrt{7}x}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$…（11分）
由平方關(guān)系得$sin∠BAC=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角函數(shù)化簡求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．