Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：若，則；

（2）當時，試討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）當時，函數(shù)有且僅有一個零點，當時，函數(shù)有兩個零點．

【解析】

試題（1）函數(shù)求導，再求導得恒成立，又因為恒成立；

（2）由（1）可知，當x≤0時，f″(x)≤0，可得 對x∈R，f′(x)≥0，即ex≥x+1，分類討論當x≥-1時，當x＜-1時，函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù)即可得解；

當x＜-1時，再分0≤m≤1和m＜0兩種情況進行討論，由函數(shù)零點定理進行判斷即可得到答案.

試題解析：，所以

(1)當時，，則，令，則，當時，，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，即當時，，所以當時，恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為，所以當時，對恒成立.

(2)由（1）知，當時，，所以，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增函數(shù)為.所以，所以對 ，，即.

①當時，，又，，即，所以當時，函數(shù)為增函數(shù)，又，所以當 時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，且為.

②當時，（ⅰ）當時，，所以，所以函數(shù)在上遞增，所以，且，故時，函數(shù)在區(qū)間上無零點.

(ⅱ)當時， ，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當時，，又曲線在區(qū)間上不間斷，所以，使，故當時，，當時，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，所以對，又當時，，又，曲線在區(qū)間上不間斷.所以，且唯一實數(shù)，使得，綜上，當時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有個兩零點.