Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長為2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)．過右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)存在，的取值范圍為.

【解析】

試題分析：(1)由短軸長為得，由兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)得，由此求出，即可求出橢圓方程；(2)先寫出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，從而求出，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到到直線的距離即可求三角形的面積；(3) 設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理計(jì)算，即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，

根據(jù)題意得 所以，

所以橢圓方程為；

（2）根據(jù)題意得直線方程為，

解方程組得坐標(biāo)為， 計(jì)算，

點(diǎn)到直線的距離為， 所以，；

（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本�與軸不垂直，所以設(shè)直線的方程為．

坐標(biāo)為，

由得，，

，

計(jì)算得：，其中，

由于以為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以，

計(jì)算得， 即， ， 所以.

（可以設(shè)點(diǎn)，也可以設(shè)直線得到和的函數(shù)關(guān)系式）