Question

（附加題）已知函數(shù)f（x）=x²-2kx+k+1．
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上有最小值-5，求k的值．
（Ⅱ）若同時(shí)滿足下列條件①函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)；②存在區(qū)間[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]；則稱f（x）為區(qū)間D上的閉函數(shù)，試判斷函數(shù)f（x）=x²-2kx+k+1是否為區(qū)間[k，+∞）上的閉函數(shù)？若是求出實(shí)數(shù)k的取值范圍，不是說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，對稱軸x=k．分k＜1、1≤k≤2、k＞2三種情況，分別求出k的值，即得所求．
（Ⅱ）f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上單調(diào)遞增，由于f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]，則有，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有兩不同實(shí)數(shù)根，
解不等式組，求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，對稱軸x=k．
①當(dāng)k＜1時(shí)，f_min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）
②當(dāng)1≤k≤2時(shí)，，解得k=-2或3，（舍去）
③當(dāng)k＞2時(shí)，f_min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得．
綜合①②③可得．-------（4分）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上是閉函數(shù)．--------（6分）
∵函數(shù)開口向上且對稱軸為x=k，∴f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上單調(diào)遞增．
設(shè)存在區(qū)間[a，b]⊆[k，+∞）使得f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]，
則有，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有兩不同實(shí)數(shù)根．---------（8分）
∴，解得，
∴k的取值范圍為-----（10分）
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．