Question

【題目】如圖，已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，設(shè)Z是直線OP上的一動點．

(1)求使取最小值時的；

(2)對(1)中求出的點Z，求cos∠AZB的值．

Answer 1

【答案】（1）最小值－8，＝ (4,2)（2）

【解析】分析：（1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，求得向量ZA，ZB的坐標(biāo)，由數(shù)量積的標(biāo)準(zhǔn)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，及向量OZ；（2）求得t=2的向量ZA，ZB，以及模的大小，由向量的夾角公式，計算即可得到．

詳解：(1)∵Z是直線OP上的一點，∴∥.

設(shè)實數(shù)t，使＝t，∴＝t(2,1)＝(2t，t)，

則＝－＝(1,7)－(2t，t)＝(1－2t,7－t)，

＝－＝(5,1)－(2t，t)＝(5－2t,1－t)．

∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.

當(dāng)t＝2時，·有最小值－8，此時＝(2t，t)＝(4,2)．

(2)當(dāng)t＝2時，＝(1－2t,7－t)＝(－3,5)，

||＝，＝(5－2t,1－t)＝(1，－1)，||＝.

故cos∠AZB＝＝＝－＝－