Question

已知圓，直線．

（Ⅰ）若與相切，求的值；

（Ⅱ）是否存在值，使得與相交于兩點，且（其中為坐標原點），若存在，求出，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在m=9±2

【解析】

試題分析：解：(Ⅰ)由圓方程配方得(x+1)²+(y－3)²=9，

圓心為C(－1，3)，半徑為 r = 3，                             2分

若 l與C相切，則得=3，                          

∴(3m－4)²=9(1+m²)，∴m =．                               5分

(Ⅱ)假設存在m滿足題意。

由   x²+y²+2x－6y+1=0  ，消去x得

x=3－my             

(m²+1)y²－(8m+6)y+16=0，                                  

由△=(8m+6)²－4(m²+1)·16>0，得m>，                  8分

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁+y₂=，y₁y₂=．

 OA·OB=x₁x₂+y₁y₂

=(3－my₁)(3－my₂)+y₁y₂

=9－3m(y₁+y₂)+(m²+1)y₁y₂

=9－3m·+(m²+1)·

=25－=0                             10分

24m²+18m=25m²+25，m²－18m+25=0，

∴m=9±2，適合m>，

∴存在m=9±2符合要求．                    12分

考點：直線與圓的位置關系

點評：解決該試題的關鍵是利用聯(lián)立方程組，設而不求的思想和韋達定理來表示得到求解，基礎題。