如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,點(diǎn)M在線段EC上.

(I)當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí),求證:  面;

(II)求證:平面BDE丄平面BEC;

(III)若平面說(shuō)BDM與平面ABF所成二面角銳角,且該二面角的余弦值為時(shí),求三棱錐M-BDE的體積.

 

【答案】

(1)答案詳見解析;(2)答案詳見解析;(3).

【解析】

試題分析:(1)要證明直線和平面平行,只需在平面內(nèi)找一條直線,與平面外的直線平行即可,取中點(diǎn),連結(jié).可證明四邊形為平行四邊形. 于是,,從而證明 面;(2)要證明平面和平面垂直,只需在一個(gè)平面內(nèi)找另一個(gè)平面的一條垂線,由面平面,可證平面,從而,又可證,故平面,平面平面;(3)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),求兩個(gè)半平面的法向量,然后利用已知二面角的余弦值列方程,從而確定點(diǎn)M的位置,進(jìn)而求三棱錐的體積.

試題解析:(1)證明  取中點(diǎn),連結(jié).在△中,分別為的中點(diǎn),

,且.由已知,因此,,且.所以,四邊形為平行四邊形. 于是,.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030404272461524802/SYS201403040427582871574990_DA.files/image033.png">平面,且平面,

所以∥平面,從而可證.

(2)證明  在正方形中,.又平面平面,平面平面,知平面.所以.在直角梯形中,,,算得.在△中,,可得.故平面.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030404272461524802/SYS201403040427582871574990_DA.files/image042.png">平面,所以,平面平面.

(3)按如圖建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.設(shè),則,又,設(shè),則,即.

設(shè)是平面的法向量,則,.

,得,即得平面的一個(gè)法向量為.  由題可知,是平面的一個(gè)法向量.因此,,即點(diǎn)中點(diǎn).此時(shí),,為三棱錐的高,所以,.

考點(diǎn):1、直線和平面平行的判定;2、面面垂直的判定;3、二面角和三棱錐的體積.

 

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