Question

1．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，向量$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，則向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$的夾角為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$，求出它們的夾角即可．

解答 解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，
∵邊長(zhǎng)AB=1，向量$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴A（0，0），E（$\frac{1}{2}$，1），F(xiàn)（1，$\frac{1}{3}$）；
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AF}$=（1，$\frac{1}{3}$），
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$×1+1×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$；
∴cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AE}|×|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$的夾角為$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的夾角問(wèn)題，利用坐標(biāo)法求解較方便些，是基礎(chǔ)題．