Question

12．記關(guān)于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}$＜0的解集為P，不等式|x-1|≤1的解集為Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若P∩Q=Q，求正數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （1）將a=3代入分式不等式等價轉(zhuǎn)化，由一元二次不等式的解法求出解集P；
（2）由絕對值不等式求出解集Q，由a的符號，等價轉(zhuǎn)化分式不等式后，由一元二次不等式的解法求出P，由條件和子集的關(guān)系求出正數(shù)a的取值．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時，不等式為$\frac{x-3}{x+1}＜0$，即（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，即解集P={x|-1＜x＜3}．…（4分）
（ 2）由題意得，Q={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}，
由a＞0，不等式為$\frac{x-a}{x+1}＜0$，即（x+1）（x-a）＜0，
解得-1＜x＜a，即解集得P={x|-1＜x＜a}，…（8分）
又P∩Q=Q，所以Q⊆P，所以a＞2…（10分）

點評 本題考查分式不等式的解法及其轉(zhuǎn)化，絕對值不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及子集的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．