Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式是${S_n}={3^n}-1$，
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）需要分類討論，：n=1和n＞1兩種情況下的{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）欲證明{a_n}是等比數(shù)列，只需推知該數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，n≥2，
∵n=1時(shí)，a₁=S₁也適合上式，
∴a_n=2•3^n-1．（n∈N^*）；
（2）證明：由（1）得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=$\frac{2×{3}^{n}}{2×{3}^{n-1}}$=3，
又a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查等比關(guān)系的確定與等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算與推理、證明的能力，屬于中檔題．