【題目】已知函數 (0<φ<π,ω>0)為偶函數,且函數y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 .
(1)求 的值;
(2)將函數y=f(x)的圖象向右平移 個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,得到函數y=g(x)的圖象,求g(x)的單調遞減區(qū)間.
【答案】
(1)解: = = .
∵f(x)為偶函數,
∴對x∈R,f(﹣x)=f(x)恒成立,
∴ .
即 ,
整理得 .
∵ω>0,且x∈R,所以 .
又∵0<φ<π,故 .
∴ .
由題意得 ,所以ω=2.
故f(x)=2cos2x.
∴ .
(2)解:將f(x)的圖象向右平移 個單位后,得到 的圖象,再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍,縱坐標不變,得到 的圖象.
∴ .
當 (k∈Z),
即 (k∈Z)時,g(x)單調遞減,
因此g(x)的單調遞減區(qū)間為 (k∈Z)
【解析】(1)先用兩角和公式對函數f(x)的表達式化簡得f(x)=2sin(ωx+φ﹣ ),利用偶函數的性質即f(x)=f(﹣x)求得ω,進而求出f(x)的表達式,把x= 代入即可.(2)根據三角函數圖象的變化可得函數g(x)的解析式,再根據余弦函數的單調性求得函數g(x)的單調區(qū)間.
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的正弦公式和函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關知識點,需要掌握兩角和與差的正弦公式:;圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數的圖象;再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數的圖象;再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數的圖象才能正確解答此題.
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【題目】設直線與拋物線相交于不同兩點、,與圓相切于點,且為線段中點.
(1) 若是正三角形(是坐標原點),求此三角形的邊長;
(2) 若,求直線的方程;
(3) 試對進行討論,請你寫出符合條件的直線的條數(直接寫出結論).
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【題目】已知向量 =( sin ,1), =(cos ,cos2 ),f(x)= .
(1)求函數f(x)的解析式及其單調遞增區(qū)間;
(2)將f(x)的圖象向右平移 個單位長度得到g(x)的圖象,若g(x)﹣k≤0在區(qū)間[0, ]上恒成立,求實數k的取值范圍.
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【題目】己知函數 (其中e為自然對數的底數), .
(I)求函數的單調區(qū)間;
(II)設,.已知直線是曲線的切線,且函數上是增函數.
(i)求實數的值;
(ii)求實數c的取值范圍.
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【題目】已知函數, ,且直線是函數的一條切線.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)對任意的,都存在,使得,求的取值范圍;
(Ⅲ)已知方程有兩個根(),若,求證: .
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【題目】某電影院共有1000個座位,票價不分等次,根據影院的經營經驗,當每張票價不超過10元時,票可全售出;當每張票價高于10元時,每提高1元,將有30張票不能售出,為了獲得更好的收益,需給影院定一個合適的票價,需符合的基本條件是:①為了方便找零和算賬,票價定為1元的整數倍;②電影院放一場電影的成本費用支出為5750元,票房的收入必須高于成本支出,用x(元)表示每張票價,用y(元)表示該影院放映一場的凈收入(除去成本費用支出后的收入)問:
(1)把y表示為x的函數,并求其定義域;
(2)試問在符合基本條件的前提下,票價定為多少時,放映一場的凈收人最多?
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【題目】如圖,已知直線關于直線對稱的直線為,直線與橢圓分別交于點、和、,記直線的斜率為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)當變化時,試問直線是否恒過定點? 若恒過定點,求出該定點坐標;若不恒過定點,請說明理由.
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