【題目】(1)研究函數(shù)f(x)在(0,π)上的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)g(x)=x2+πcosx的最小值.
【答案】(1)f(x)在(0,π )遞減;(2).
【解析】
(1)根據(jù),求導(dǎo)得,設(shè)m(x)=xcos x﹣sinx,x∈(0,π),通過求導(dǎo)來判斷其正負(fù),從而得到f′(x)的正負(fù),進(jìn)而研究f(x)的單調(diào)性.
(2)易知g(x)是偶函數(shù),故只需求x∈[0,+∞)時(shí)g(x)的最小值,求導(dǎo)得g′(x)=2x﹣πsin x,根據(jù)sinx的特點(diǎn),分x∈(0,)和時(shí)兩種情況討論g(x)單調(diào)性,進(jìn)而求其最小值.
(1)因?yàn)?/span>,所以,
設(shè)m(x)=xcos x﹣sinx,x∈(0,π),
m′(x)=﹣xsin x<0,
所以m(x)在(0,π )遞減,則m(x)<m(0)=0
故f′(x)<0,所以f(x)在(0,π )遞減;
(2)觀察知g(x)為偶函數(shù),故只需求x∈[0,+∞)時(shí)g(x)的最小值,
由g′(x)=2x﹣πsin x,當(dāng)x∈(0,) 時(shí),設(shè)n(x)=2x﹣π sin x,則n′(x)=2﹣π cos x,顯然 n′(x) 遞增,
而n′(0)=2﹣π<0,,
由零點(diǎn)存在定理,存在唯一的,使得n′(x0)=0
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),n′(x)<0,n(x)遞減,
當(dāng)時(shí),n′(x)>0,n(x)遞增,
而n(0)=0,,故時(shí),n(x)<0,
即時(shí),g′(x)<0,則g(x)遞減;
又當(dāng)時(shí),2x>π>π sin x,g′(x)>0,g(x) 遞增;
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),是實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證:在定義域內(nèi)是增函數(shù);
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷某種新鮮蔬菜(以下簡稱蔬菜),購入價(jià)為200元/袋,并以300元/袋的價(jià)格售出,若前8小時(shí)內(nèi)所購進(jìn)的蔬菜沒有售完,則批發(fā)商將沒售完的蔬菜以150元/袋的價(jià)格低價(jià)處理完畢(根據(jù)經(jīng)驗(yàn),2小時(shí)內(nèi)完全能夠把蔬菜低價(jià)處理完,且當(dāng)天不再購進(jìn)).該蔬菜批發(fā)商根據(jù)往年的銷量,統(tǒng)計(jì)了100天蔬菜在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量,制成如下頻數(shù)分布條形圖.
(1)若某天該蔬菜批發(fā)商共購入6袋蔬菜,有4袋蔬菜在前8小時(shí)內(nèi)分別被4名顧客購買,剩下2袋在8小時(shí)后被另2名顧客購買.現(xiàn)從這6名顧客中隨機(jī)選2人進(jìn)行服務(wù)回訪,則至少選中1人是以150元/袋的價(jià)格購買的概率是多少?
(2)以上述樣本數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù).
(i)若今年蔬菜上市的100天內(nèi),該蔬菜批發(fā)商堅(jiān)持每天購進(jìn)6袋蔬菜,試估計(jì)該蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷蔬菜的總盈利值;
(ii)若明年該蔬菜批發(fā)商每天購進(jìn)蔬菜的袋數(shù)相同,試幫其設(shè)計(jì)明年的蔬菜的進(jìn)貨方案,使其所獲取的平均利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣6ρcosθ+5=0,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程,并說明是什么曲線?
(2)若曲線C1與C2相交于A、B兩點(diǎn),求|AB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2及G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1、G2、G3三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G,那么,在四面體S﹣EFG中必有( )
A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面
C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論,利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點(diǎn),具體方法如下:(l)取線段AB=2,過點(diǎn)B作AB的垂線,并用圓規(guī)在垂線上截取BC=AB,連接AC;(2)以C為圓心,BC為半徑畫弧,交AC于點(diǎn)D;(3)以A為圓心,以AD為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E.則點(diǎn)E即為線段AB的黃金分割點(diǎn).若在線段AB上隨機(jī)取一點(diǎn)F,則使得BE≤AF≤AE的概率約為( 。▍⒖紨(shù)據(jù):2.236)
A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若,,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)、點(diǎn)及拋物線.
(1)若直線過點(diǎn)及拋物線上一點(diǎn),當(dāng)最大時(shí)求直線的方程;
(2)軸上是否存在點(diǎn),使得過點(diǎn)的任一條直線與拋物線交于點(diǎn),且點(diǎn)到直線的距離相等?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下(提示:可以用第(2)問的結(jié)論),任意的,證明:.
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