Question

18．已知：圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（m+1）x+（2m+1）y-7m-4=0．
求：（1）求直線l恒過定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求證：不論m取何值，直線l與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）求直線l被圓M截得的弦長最小時(shí)的方程．

Answer 1

分析 （1）把已知直線方程變形，得到m（x+2y-7）+x+y-4=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$求得定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）把P的坐標(biāo)代入圓的方程，可得P在圓內(nèi)部，則直線l與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）由題意可知，當(dāng)直線l⊥CP時(shí)，直線l被圓M截得的弦長最小，由此求得弦長最小時(shí)的直線方程．

解答 解：（1）由直線l：（m+1）x+（2m+1）y-7m-4=0，
得m（x+2y-7）+x+y-4=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直線l恒過定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）；
證明：（2）∵（1-1）²+（3-2）²=1＜25，
∴點(diǎn)P在圓C：（x-1）²+（y-2）²=25內(nèi)，
故不論m取何值，直線l與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
解：（3）當(dāng)直線l⊥CP時(shí)，直線l被圓M截得的弦長最小，
∵P（1，3），C（1，2），
∴直線CP的斜率不存在，
則k_l=0，直線l的方程為y=3．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了直線系方程的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．