Question

9．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）+sin2x$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求$f（\frac{A}{2}）$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角差的余弦公式展開，利用輔助角公式即可求得f（x），根據(jù)周期公式，即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦定理，求得B=$\frac{π}{3}$，則0＜A＜$\frac{2π}{3}$，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得$f（\frac{A}{2}）$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）+sin2x$=cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$+sin2x，
=$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x，
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
則f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由（2a-c）cosB=bcosC，則（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，則2sinAcosB=sin（B+C），
由sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π，則B=$\frac{π}{3}$，
$f（\frac{A}{2}）$=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
則$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，則$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
∴f（A）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查兩角和差的余弦公式，考查正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．