Question

18．在平行四邊形ABCD中，設(shè)AB的長為a（a＞0），AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點．若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=1，則a的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 首先利用$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，代入已知等式展開，利用數(shù)量積公式求數(shù)值，得到關(guān)于a的方程解之．

解答 解：設(shè)AB的長為a（a＞0），因為$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
于是$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AD}$²=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$a+1，
由已知可得-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$a+1=1．又a＞0，
∴a=$\frac{1}{2}$，即AB的長為$\frac{1}{2}$．
故選A．

點評 本題考查了平面向量的運算；首先將所求利用平行四邊形的相鄰邊向量表示，然后運用數(shù)量積公式是解答的關(guān)鍵．