Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，
（1）寫出函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；
（2）討論函數(shù)f（x）的極大值或極小值，如有試寫出極值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）對函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+1求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)用輔助角公式變形，利用導(dǎo)數(shù)等于0得極值點(diǎn)，通過列表求出函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）中的表格和極值點(diǎn)的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求函數(shù)極大值和極小值．

解答： 解：（1）由題意得，f′（x）=cosx+sinx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1，
令f′（x）=0，得sin(x+

π

4

)=-

2

2

，
由0＜x＜2π得，x=π，或x=

3π

2

，
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）變化情況如下表：

x	（0，π）	π	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，π）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	π+2	單調(diào)遞減	3π 2	單調(diào)遞增

由上表知f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（π，

3π

2

）；
（2）由（1）中的表格知，函數(shù)f（x）的極小值為f（

3π

2

）=

3π

2

，
極大值為f（π）=π+2．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導(dǎo)數(shù)為0得可能的極值點(diǎn)，通過列表得每個區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值點(diǎn)．