Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

+b，當x=1時，f（x）取得極小值3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，得出

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，解出即可；（Ⅱ）先求出函數(shù)的導數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）因為f′(x)=

1

x

-

a

x2

，
所以

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，
所以

a=1 b=2

（Ⅱ）因為f(x)=lnx+

1

x

+2
所以f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

所以f'（x）=0⇒x=1
列表如下

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，2）	2
y'		-		+
y	4-ln2	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增	5 2 +ln2

因為f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=lne

3

2

-ln4=ln

e 3 2

4

＞0
所以f(x)max=f(

1

2

)=4-ln2，
f（x）_min=f（1）=3．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道基礎(chǔ)題．