【題目】如圖,設(shè)橢圓 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn)D在橢圓上.DF1⊥F1F2 , =2 ,△DF1F2的面積為 .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn),求圓的半徑.
【答案】
(1)解:設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2=a2﹣b2,
由 =2 ,得|DF1|= = c,
從而 = |DF1||F1F2|= c2= ,故c=1.
從而|DF1|= ,由DF1⊥F1F2,得 = + = ,
因此|DF2|= ,
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ,故a= ,b2=a2﹣c2=1,
因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1;
(2)解:設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),
y1>0,y2>0,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線(xiàn),且F1P1⊥F2P2,由圓和橢圓的對(duì)稱(chēng)性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由(1)知F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),所以 =(x1+1,y1), =(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得﹣ + =0,
由橢圓方程得1﹣ = ,即3 +4x1=0,解得x1=﹣ 或x1=0.
當(dāng)x1=0時(shí),P1,P2重合,此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在;
當(dāng)x1=﹣ 時(shí),過(guò)P1,P2,分別與F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線(xiàn)的交點(diǎn)即為圓心C.
由F1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線(xiàn),且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,
故圓C的半徑|CP1|= |P1P2|= |x1|=
【解析】(1)設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),依題意,可求得c=1,易求得|DF1|= = ,|DF2|= ,從而可得2a=2 ,于是可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是兩個(gè)交點(diǎn),依題意,利用圓和橢圓的對(duì)稱(chēng)性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,
由F1P1⊥F2P2 , 得x1=﹣ 或x1=0,分類(lèi)討論即可求得圓的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形,且側(cè)棱與底面垂直的三棱柱稱(chēng)之為“塹堵”,已知某“塹堵”的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上正方形的邊長(zhǎng)為1),則該“塹堵”的表面積為( )
A. 8 B. 16+8 C. 16+16 D. 24+16
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))
(1)求曲線(xiàn)C的普通方程;
(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l方程為 ρsin( ﹣θ)+1=0,已知直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,直線(xiàn)l過(guò)F2且與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn).
(1)若l的傾斜角為 , 是等邊三角形,求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程;
(2)設(shè) ,若l的斜率存在,且|AB|=4,求l的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班同學(xué)利用春節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,對(duì)本地歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱(chēng)為“低碳族”,否則稱(chēng)為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖。
(一)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表: (二)各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
(Ⅰ)在答題卡給定的坐標(biāo)系中補(bǔ)全頻率分布直方圖,并求出、、的值;
(Ⅱ)從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶(hù)外低碳體驗(yàn)活動(dòng)。若將這個(gè)人通過(guò)抽簽分成甲、乙兩組,每組的人數(shù)相同,求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;
(Ⅱ)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素,求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,底面為正三角形, 底面,且, 是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面平面;
(3)在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn),使得三棱錐的體積是?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線(xiàn)的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率,虛軸長(zhǎng)為2.
(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn),( 均異于左、右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過(guò)雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn),求證:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知標(biāo)有1~20號(hào)的小球20個(gè),若我們的目的是估計(jì)總體號(hào)碼的平均值,即20個(gè)小球號(hào)碼的平均值.試驗(yàn)者從中抽取4個(gè)小球,以這4個(gè)小球號(hào)碼的平均值估計(jì)總體號(hào)碼的平均值,按下面方法抽樣(按小號(hào)到大號(hào)排序):
(1)以編號(hào)2為起點(diǎn),系統(tǒng)抽樣抽取4個(gè)球,則這4個(gè)球的編號(hào)的平均值為____.
(2)以編號(hào)3為起點(diǎn),系統(tǒng)抽樣抽取4個(gè)球,則這4個(gè)球的編號(hào)的平均值為____.
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