Question

【題目】如圖，三棱柱中，底面為正三角形， 底面，且， 是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面；

（3）在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得三棱錐的體積是？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接交于點(diǎn)，連，由三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)得，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定可得結(jié)論。（2）先證平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面。（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，不妨設(shè),由可得，從而可得點(diǎn)確實(shí)存在，且。

試題解析：

（1）如圖,連接交于點(diǎn)，連。

由題意知,在三棱柱中,平面,

∴四邊形為矩形,

∴點(diǎn)為的中點(diǎn).

∵ 為的中點(diǎn),

∴.

∵ 平面,平面.

∴ 平面.

（2）∵底面為正三角形,是的中點(diǎn),

∴,

∵ 平面,平面,

∴ .

∵ ,

∴ 平面,

∵ 平面,

∴平面平面.

（3）假設(shè)在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使三棱錐的體積是.

設(shè)。

∵ ,,

∴ ,

即,

解得,

即.

∵ ,

∴ 在側(cè)棱上存在一點(diǎn),使得三棱錐的體積是,此時(shí).