Question

設(shè)f（x）=loga

1-mx

x-1

是奇函數(shù)（a＞0且a≠1），
（1）求出m的值
（2）若f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞1），判斷f（x）在定義域上的增減性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由 題意可得f（-x）=-f（x），代入可求m
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明：設(shè)x₁，x₂∈[α，β]，則1＜x₁＜x₂，對函數(shù)值作差f（x₁）-f（x₂）=log_a

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

結(jié)合已知可判斷

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

的正負(fù)，進而討論當(dāng)0＜m＜1時，及m＞1時，f（x₁）-f（x₂）的符號，即可證明

解答：解：（1）由題意可得f（-x）+f（x）=0   …（1分）  
即loga

1-mx

x-1

+loga

1+mx

-x-1

=0
∴loga (

1-mx

x-1

•

1+mx

-x-1

)=loga

(mx)2-1

x2-1

=0
∴

(mx)2-1

x2-1

=1   …（2分）
∴（mx）²-1=x²-1
∴m=±1 
∴m=-1     m=1（舍）  …（4分）
（2）當(dāng)0＜m＜1時，f（x）為增函數(shù)；m＞1時，f（x）為減函數(shù)，判斷如下
∵f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），則[α，β]?（1，+∞）．
設(shè)x₁，x₂∈[α，β]，則1＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）loga

x1+1

x1-1

loga

x2+1

x2-1

=log_a

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∵（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0
∴（1+x₁）（x₂-1）＞（x₁-1）（1+x₂）即

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞1
∴當(dāng)0＜m＜1時，loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
當(dāng)m＞1時，log_a

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞0，即定義在證明函數(shù)f（x₁）＞f（x₂），
故當(dāng)0＜m＜1時，f（x）為增函數(shù)；m＞1時，f（x）為減函數(shù)．                   …（10分）

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）的應(yīng)用，及函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明函數(shù)單調(diào)中的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用