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10.如圖1,已知四邊形ABFD為直角梯形,ABDFADF=π2ADE為等邊三角形,AD=DF=2AF=2,C為DF的質(zhì)點(diǎn),如圖2,將平面AED、BCF分別沿AD、BC折起,使得平面AED⊥平面ABCD,平面BCF⊥平面ABCD,連接EF、DF,設(shè)G為AE上任意一點(diǎn).
(1)證明:DG∥平面BCF;
(2)求平面DEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出CD⊥平面AED,CD⊥平面BCF,從而平面AED∥平面BCF,由此能證明DG∥平面BCF.
(Ⅱ)取AD的中點(diǎn)O,連結(jié)OE,則OE⊥AD,以O(shè)D為x軸,以平面AED過O的垂線為y軸,以O(shè)E為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面DEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)由題意知BC⊥DC,
∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,
又CD⊥AD,∴CD⊥平面AED,
同理,CD⊥平面BCF,
∴平面AED∥平面BCF,
又DC?平面AED,∴DG∥平面BCF.
解:(Ⅱ)取AD的中點(diǎn)O,連結(jié)OE,則OE⊥AD,
∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,
∴OE⊥平面ABCD,以O(shè)D為x軸,以平面AED過O的垂線為y軸,以O(shè)E為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵OE=3,CF=1,
則O(0,0,0),DF=(0,1,1),CD=(0,-1,0),
設(shè)平面DEF的法向量n=(x,y,z),
{nDE=x+3z=0nDF=y+z=0,取z=1,得n=(3,-1,1),
CD=(0,-1,0)是平面BCF的一個法向量,
∴cos<nCD>=nCD|n||CD|=55,
∴平面DEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值為55

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明,考查線面角的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
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