Question

11．二項(xiàng)式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160，則a=1．

Answer 1

分析 由題意可得二項(xiàng)式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開的二項(xiàng)式系數(shù)和為64為2ⁿ=64，求得n=6，利用二項(xiàng)展開式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得二項(xiàng)展開式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的常數(shù)項(xiàng)為-160即可求出a的值．

解答 解：二項(xiàng)式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即2ⁿ=64，可得n=6．
二項(xiàng)展開式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的通項(xiàng)公式T_r+1=${C}_{6}^{r}{2}^{6-r}{x}^{\frac{6-r}{2}}（-a）^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$．
令$\frac{6-r}{2}-\frac{r}{2}=0$可得常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)r=3．
那么．常數(shù)項(xiàng)為${C}_{6}^{3}{2}^{3}（-a）^{3}$=-160．
解得：a=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．