Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a為奇函數(shù)，
（1）求定義域和a的值；
（2）求證：f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，解不等式f（m+1）+f（-2m+3）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，f（-x）=-f（x），即可求出a的值，
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到關(guān)于m的不等式，解得即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a，
∴函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（x）=

1

2x-1

+a為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴

1

2-x-1

+a=-

1

2x-1

-a
即2a=

2x

2x-1

-

1

2x-1

=1
解得a=

1

2

（2）設(shè)x₁＜x₂∈（0，+∞），
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

+

1

2

-

1

2x2-1

-

1

2

=

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＜x₂∈（0，+∞），
∴2x2-2x1＞0，2x1-1＞0，2x2-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（m+1）+f（-2m+3）＜0．
∴f（m+1）＜-f（-2m+3）=f（2m-3）．
∴

m+1＞0 2m-3＞0 m+1＞2m-3

，
解得

3

2

＜m＜4，
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）在x∈（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴

m+1＜0 2m-3＜0 m+1＞2m-3

，
解得m＜4，
綜上所述不等式的解集為（-∞，4）

點評：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性不等式的解法，屬于中檔題．